順序数の簡単な解説

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Tags hydrogen Advent Calender 2024 数学 集合論 ZFC公理系

この記事はhydrogen Advent Calender 2024の5日目の記事です。

本題

明日の記事で使うために、順序数についてざっくりと解説しておく。

自然数を定義する

昨日の記事で述べたように集合論の世界では集合以外のものは存在しない。現代の数学は集合論の上に構築されているため、例えば自然数は集合として定義できなければ使い物にならないはずだ。では、自然数をどのように定義するか。

自然数はペアノの公理によって定義される。ペアノの公理は次の5つの公理からなる。

  1. 00は自然数である。
  2. 任意の自然数nnに対して、nnの後者S(n)S(n)も自然数である。
  3. 任意の自然数nnに対して、S(n)≠0S(n)\neq0である。
  4. 任意の自然数nnに対して、n≠mn\neq mならばS(n)≠S(m)S(n)\neq S(m)である。
  5. 数学的帰納法が成り立つ。

これらを満たすように00と後者関数SSを定義することで自然数を定義することができる。

集合論においては次のように定義する。

0:=∅S(n):=n∪{n}\begin{align*} 0 &:= \emptyset \\ S(n) &:= n \cup \{n\} \end{align*}

ここから0=∅0=\emptyset、1=S(0)={0}={∅}1=S(0)=\{0\}=\{\emptyset\}、2=S(1)={0,1}={∅,{∅}}2=S(1)=\{0,1\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}、⋯\cdotsとなる。

またこのようにすることで、n<m:⇔n∈mn<m:\Leftrightarrow n\in mとして順序関係を簡単に導入することができる。

順序数を定義する

ここで、自然数の集合ω\omegaを考えてみよう。これ自体はペアノの公理を満たさないので自然数ではない。だが、先ほど定義した順序関係をこれに適用してみよう。

すると、いかなる自然数nnに対してもn∈ωn\in\omegaである。つまり、先の定義によればn<ωn<\omegaであるといえる。また、先に定義した後者関数SSをω\omegaに適用することで、ω\omegaの後者ω+1\omega+1というべきものを定めることができる。ω∈ω+1\omega\in\omega+1であるから、ω<ω+1\omega<\omega+1である。

このようにして、自然数の集合論上での定義を順序関係という観点から拡張することで、順序数というものを定義することができる。

より形式的には、順序数XXは次の条件を満たすものとして定義される。

  1. x∈X,a∈x⇒a∈Xx\in X,a \in x\Rightarrow a\in X
  2. x,y∈Xx,y\in Xに対しx<y:⇔x∈yx<y :\Leftrightarrow x\in yとするとXXの空でない部分集合YYは必ず最小元を持つ。

なお、順序関係は<<とイコールがないことに注意する。

全ての順序数の集まりは集合ではないということが従う。これは次のようにして示される。

全ての順序数の集合Ord\mathrm{Ord}が存在すると仮定。

Ord\mathrm{Ord}の元は順序数であるので、その要素は順序数となりOrd\mathrm{Ord}に属する。よって、Ord\mathrm{Ord}自体も順序数である。

ゆえに、Ord∈Ord\mathrm{Ord}\in\mathrm{Ord}であるが、これはOrd<Ord\mathrm{Ord}<\mathrm{Ord}となり矛盾する。

よって、全ての順序数の集合は存在しない。

順序数の例

自然数は順序数である。また、ω\omegaは自然数の集合であるから順序数である。他にも、ω+1:=S(ω),ω+2:=S(ω+1),⋯\omega+1:=S(\omega),\omega+2:=S(\omega+1),\cdotsも順序数である。

ただ、このままではω+ω\omega+\omegaをいつまでたっても定義できない。

そのため、次のようにしてω+ω\omega+\omegaを定義する。

ω+ω:=sup⁡n∈ω(ω+n)=⋃n∈ω(ω+n)\omega+\omega:=\sup_{n\in\omega}(\omega+n)=\bigcup_{n\in\omega}(\omega+n)

これも順序数である。

同様にしてω⋅3:=ω+ω+ω\omega\cdot3:=\omega+\omega+\omega、ω2:=ω⋅ω\omega^2:=\omega\cdot\omega、ωω\omega^{\omega}なども順序数として定義される。

順序数の中で、ある順序数α\alphaを用いてS(α)S(\alpha)と書けるようなものを後続型順序数、そうでないもののうち00以外のものを極限順序数という。

例えば、11は後続型順序数、ω\omegaは極限順序数である。