この記事はhydrogen Advent Calender 2024の6日目の記事です。
そもそも正則性公理とは
正則性公理とは、空でない集合は自身と交わらない元を持つという次のような主張である。
∀x(∃a∈x⇒∃y(y∈x∧∀z(z∈x⇒z∈/y)))
x∈/x
ここから、x∈/xが次のようにして導かれる。
集合{x}に対して、正則性公理を適用すると
∃y(y∈{x}∧∀z(z∈{x}⇒z∈/y))
{x}はx以外の元を持たないのでy及びzはx以外を取りえないから
x∈/x
累積的階層
一昨日の記事では、この正則性公理が極めて重大な意味を持つことを述べた。それについて解説していこう。
順序数αに対してVαを次のように定義する。順序数については昨日の記事を参照してほしい。
V0Vα+1Vλ:=∅:=P(Vα):=β<λ⋃Vβ(λは極限順序数)
このVαは空集合から始まり、そのひとつ前のVαの冪集合を取ることで次のVα+1を定め、極限順序数の場合はそれまでのVβを取りまとめることでVλを定める。
そして、正則性公理は次のような主張と同値である。
∀x∃α(x∈Vα)
これは、どんな集合であってもそれが何らかのVαの元であるということを述べている。
そして、Vαは空集合から冪集合を取り続けてまとめていくことで得られるものであるから、すなわちいかなる集合も空集合から作られるということを意味している。
そのため、一昨日の記事では空集合は全ての集合の「親」であるとも言えると述べたのだ。
因みに、x∈Vαを満たすような最小のαをxの階数と呼び、rank(x)と書く。