この記事はhydrogen Advent Calender 2024の14日目の記事です。
基数
順序数αが基数⇔def∣α∣=α
濃度が自分自身と等しい順序数を基数と呼ぶ。基数は濃度を表す数である。
例えば、ωは基数である。また、自然数は全て基数である。
非有界
以下、α,βを順序数とする。
X⊆αが非有界⇔def∀β∈X,∃γ∈α,β<γ
まあ、言うまでもないことである。上には上がいるという性質をそのまま表しているだけである。
共終
関数fの共終を次のように定義する。
f:β→αが共終⇔deff(β)が非有界
この共終という概念を用いて共終数というものを定義できる。
cf(α):=min{β∣∃f:β→αは共終}
このcf(α)がαの共終数と呼ばれるものである。
そして、cf(α)=αなる順序数αを正則順序数と呼ぶ。
例
- cf(ω)=ω
共終なf:n→ωが存在すると仮定する。
nは有限であるから、f(n)は有限であり、m=maxf(n)なるmが存在する。
ここで、m+1∈ωであるから、矛盾。
- cf(ω+ω)=ω
f:ω→ω+ω;n↦ω+n
とすると、f(ω)は非有界である。
ωの時と同様にcf(ω+ω)<ωと仮定すると矛盾するので、cf(ω+ω)=ωである。
- cf(ω⋅ω)=ω
- cf(ωω)=ω
- cf(ω1)=ω1
正則性
ここまでの例で何となく察してもらえたかもしれないが、正則順序数というのはα個未満の列から得ることのできない順序数である。
注意すべきは基数であれば正則順序数であるとは限らないということである。
例えば、cf(ωω)=ωであるがωωは基数である。
これを用いて、濃度についての議論を進めていきたい。