置換公理図式

投稿日: 2024年12月8日

hydrogen Advent Calender 2024 数学 集合論 ZFC公理系

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この記事はhydrogen Advent Calender 2024の8日目の記事です。

置換公理図式とは

$\phi$を$z$を自由変数として持たない集合論上の1階述語論理式とすると、次の公理図式が成り立つ。

これの役割を端的に言えばmapである。集合を論理式でmapしたものを集合として取り出すことができるというものである。

この公理図式は、1つの$\phi$に対して1つの公理を与えるものであるのでZFC公理系は無限個の公理からなる。

なぜ、このように解釈するのかというと数学は1階述語論理で記述されるものであるためである。この公理図式を1つの公理として扱うには$\phi$を量化する必要があるが、それを可能にするには2階以上の述語論理が必要となる。だが、高階述語論理は単に扱いづらいのみならず、完全で健全で証明を検証するアルゴリズムを持つような体系を作ることができないことがゲーテルの不完全性定理によって示されているため用いられていないというわけである。

分出公理図式

$\phi$を$y$を自由変数として持たない集合論上の1階述語論理式とすると、次の公理図式が成り立つ。

これの機能は端的に言えばfilterである。集合を論理式でfilterしたものを集合として取り出すことができるというものである。

なぜこれを取り上げたかというと、置換公理図式から分出公理図式を導出することができるからである。

置換公理図式から分出公理図式を導出する

条件を満たす論理式を$\psi$とする。

$\psi(z)$なる$z\in x$が存在しないとき、$y$は一切元を持たない。このような集合の存在は空集合公理から導かれる。

$\psi(z)$なる$z\in x$が存在するとき、そのような$z$を用いて置換公理図式の$\phi$を次のように定める。

このとき、$z$自身と$\psi$を満たさないような$w$はすべて$z$となり、$\psi$を満たすような$w$はすべて$w$となる。

このようにして、置換公理図式から分出公理図式を導出することができる。

順序数$\omega + \omega$

5日目の記事でさらっと触れたが、順序数$\omega$に対して後者関数$S$を適用することで$\omega+1$を定義することができる。このようにして、$\omega+n$を定義することができ、その極限として$\omega+\omega$を定義することができる。

この$\omega+\omega$を得るには実は置換公理図式が必要となるのだ。

$x\in \omega$に対して$\phi$を次のように定める。

このようにすると、$z=\{\omega+1,\omega+2,\ldots\}$なる集合$z$の存在が示され、和集合公理から次のようにして$\omega+\omega$が得られる。

余談

ZF公理系からこの置換公理図式を除いたものをZと呼ぶ。この意味でこの置換公理図式はZF公理系のFの部分ということができるかもしれない。